Метод бесконечного спуска

Метод бесконечного спуска — метод доказательства от противного, основанный на том, что множество натуральных чисел вполне упорядочено. Существенно развит Пьером Ферма.

Часто используется для доказательства того, что у некоторого уравнения нет решений по следующей схеме: из предположения, что решение существует, доказывается существование другого решения, которое в некотором смысле меньше, тогда можно построить бесконечную цепочку решений, каждое из которых меньше предыдущего, это вызывает противоречие с тем, что в любом непустом подмножестве натуральных чисел есть минимальный элемент, значит предположение о существовании начального решения неверно.

Пример

Для доказательства иррациональности ${\sqrt {2}}$ с использованием метода бесконечного спуска оно предполагается рациональным числом:

{\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}

для некоторых натуральных чисел $p$ и $q$ . Тогда квадрат этого числа равен:

2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}

,

то есть $2q^{2}=p^{2}$ . Это означает, что $p$ — чётное число. Для $p=2r$ : $p^{2}=(2r)^{2}=4r^{2}$ , при подстановке $4r^{2}$ вместо $p^{2}$ : $2q^{2}=4r^{2}$ . Деление на 2 обеих частей даёт: $q^{2}=2r^{2}$ , значит, $q$ — также чётное число. Таким образом, исходные числа $p$ и $q$ можно одновременно разделить на 2 и получить другое представление ${\sqrt {2}}$ . С полученными числами можно проделать ту же операцию, и так далее бесконечное число раз. Таким образом строится бесконечно убывающая последовательность натуральных чисел, что невозможно. То есть, ${\sqrt {2}}$ не является рациональным числом.